６桁で循環する

Math

久しぶりに思い出した問題。
前に書いたかどうか定かでないけど、２つ書いておく。読んでいる人がどのくらいいるかわからないけど、解けた方は連絡ください。ん、いや、回答をblogとかに書いてもらってアドレスを送ってもらう方がいいかも？（ってそもそも解こうと思う人がいるかどうかすらも不明ながら）

  • ある数（Aとする）と、その数の数字を逆順にした数（Bとする）をそれぞれ２乗したものの差が、常に99で割り切れることを証明せよ

例えば、A=1234567の場合、B=7654321で、B2-A2=76543212-12345672=57064474293552=99 * 576408831248で、99で割り切れる。

  • 1/7は、0.142857142857142857....という感じで、循環部分が６桁（142857が繰り返す）となるが、同じように1/p（pは素数）が６桁で循環する数はいくつあり、それは何か。また、それ以外には存在しないことを示せ

前者は大学のときに後者は高校の時に、それぞれふと気になって解いた問題（後者は少しアレンジ）。ちょっと懐かしい感じ。
後者については続き（？）もあるので、もし好評なら続けてみようかなと思ったり。
回答は、１週間後くらいに。